“गणित के इतिहासकार का मुख्य कर्तव्य, साथ ही साथ उनका सबसे प्रिय विशेषाधिकार, गणित की मानवता की व्याख्या करना, इसकी महानता, सुंदरता और गरिमा का वर्णन करना और यह वर्णन करना है कि कई पीढ़ियों के निरंतर प्रयासों और संचित प्रतिभा ने कैसे निर्माण किया है। उस शानदार स्मारक के ऊपर, पुरुषों के रूप में हमारे सबसे वैध गौरव की वस्तु, और हमारे आश्चर्य, विनम्रता और कृतज्ञता, व्यक्तियों के रूप में। गणित के इतिहास का अध्ययन बेहतर गणितज्ञ नहीं बल्कि सज्जन बना देगा, यह उनके दिमाग को समृद्ध करेगा, मधुर होगा उनके हृदयों को, और उनके उत्तम गुणों को प्रकट करो।”
पथरी की खोज का श्रेय अक्सर दो व्यक्तियों, आइजैक न्यूटन और गॉटफ्राइड लाइबनिज़ को दिया जाता है, जिन्होंने स्वतंत्र रूप से इसकी नींव विकसित की थी। यद्यपि वे दोनों इसके निर्माण में सहायक थे, उन्होंने मौलिक अवधारणाओं के बारे में बहुत अलग तरीके से सोचा। जबकि न्यूटन ने समय के साथ परिवर्तनशील चरों पर विचार किया, लिबनिज़ ने चर x और y को अपरिमित रूप से निकट मानों के अनुक्रमों के रूप में माना। उन्होंने इन अनुक्रमों के क्रमिक मूल्यों के बीच अंतर के रूप में dx और dy का परिचय दिया। लाइबनिज़ जानता था कि dy/dx स्पर्शरेखा देता है लेकिन उसने इसे परिभाषित संपत्ति के रूप में उपयोग नहीं किया। दूसरी ओर, न्यूटन ने स्पर्शरेखा की गणना के लिए मात्रा x’ और y’ का उपयोग किया, जो परिमित वेग थे। बेशक न तो लाइबनिज और न ही न्यूटन ने कार्यों के संदर्भ में सोचा, लेकिन दोनों ने हमेशा ग्राफ के संदर्भ में सोचा। न्यूटन के लिए कलन ज्यामितीय था जबकि लाइबनिज इसे विश्लेषण की ओर ले गया।
पथरी के विकास को मोटे तौर पर एक समयरेखा के साथ वर्णित किया जा सकता है जो तीन अवधियों से गुजरती है: प्रत्याशा, विकास और कठोरता। प्रत्याशा चरण में गणितज्ञों द्वारा तकनीकों का उपयोग किया जा रहा था जिसमें वक्र के तहत क्षेत्रों को खोजने या कुछ मात्राओं को अधिकतम करने के लिए अनंत प्रक्रियाएं शामिल थीं। विकास के चरण में न्यूटन और लाइबनिज ने कैलकुलस की नींव रखी और इन सभी तकनीकों को व्युत्पन्न और अभिन्न की छतरी के नीचे लाया। हालांकि, उनके तरीके हमेशा तार्किक रूप से सही नहीं थे, और गणितज्ञों को कठोरीकरण चरण के दौरान उन्हें सही ठहराने और कैलकुलस को एक ध्वनि गणितीय आधार पर रखने में लंबा समय लगा।
कैलकुलस के अपने विकास में न्यूटन और लाइबनिज दोनों ने “इनफिनिटिमल्स” का इस्तेमाल किया, मात्राएँ जो असीम रूप से छोटी हैं और फिर भी गैर-शून्य हैं। बेशक, इस तरह के इनफिनिटिमल्स वास्तव में मौजूद नहीं हैं, लेकिन न्यूटन और लाइबनिज ने इन राशियों को अपनी गणना और परिणामों की व्युत्पत्ति में उपयोग करना सुविधाजनक पाया। यद्यपि कोई भी कलन की सफलता के साथ बहस नहीं कर सकता था, फिर भी इनफिनिटिमल्स की इस अवधारणा ने गणितज्ञों को परेशान किया। लॉर्ड बिशप बर्कले ने इनफिनिटिमल्स को “दिवंगत मात्राओं के भूत” के रूप में संदर्भित करते हुए पथरी की गंभीर आलोचना की।
बर्कले की आलोचनाएँ इस मायने में अच्छी तरह से स्थापित और महत्वपूर्ण थीं कि उन्होंने गणितज्ञों का ध्यान कलन के तार्किक स्पष्टीकरण पर केंद्रित किया। हालांकि, कैलकुलस को कठोर बनाने से पहले इसे 100 साल से अधिक का समय होना था। अंततः, कॉची, वीयरस्ट्रैस और रीमैन ने कैलकुलस को इनफिनिटसिमल के बजाय सीमाओं के संदर्भ में पुनर्गठित किया। इस प्रकार इन असीम रूप से छोटी (और गैर-मौजूद) मात्राओं की आवश्यकता को हटा दिया गया, और मात्राओं को दूसरों के “करीब” होने की धारणा से बदल दिया गया। व्युत्पन्न और अभिन्न दोनों को सीमा के संदर्भ में सुधार किया गया था। हालांकि यह गणना के कठोर औचित्य को बनाने के लिए बहुत काम की तरह लग सकता है जो पहली जगह में ठीक काम करता प्रतीत होता है, यह एक महत्वपूर्ण विकास है। कैलकुलस को तार्किक आधार पर रखकर, गणितज्ञ इसके परिणामों को बेहतर ढंग से समझने और उनका विस्तार करने में सक्षम थे, साथ ही साथ सिद्धांत के कुछ अधिक सूक्ष्म पहलुओं के साथ आने में सक्षम थे।
जब हम पहली बार कैलकुलस का अध्ययन करते हैं तो हम अक्सर इसकी अवधारणाओं को उस क्रम में सीखते हैं जो इसके विकास के लिए कुछ हद तक पीछे की ओर होता है। हम इसमें लगे सैकड़ों वर्षों के विचार का लाभ उठाना चाहते हैं। नतीजतन, हम अक्सर सीमाओं के बारे में सीखकर शुरू करते हैं। बाद में हम न्यूटन और लाइबनिज द्वारा विकसित व्युत्पन्न और अभिन्न को परिभाषित करते हैं। लेकिन न्यूटन और लाइबनिज के विपरीत हम उन्हें आधुनिक तरीके से परिभाषित करते हैं – सीमा के संदर्भ में। बाद में हम देखते हैं कि कैलकुलस के विकास में आने वाली कई समस्याओं को हल करने के लिए व्युत्पन्न और अभिन्न का उपयोग कैसे किया जा सकता है।
कैलकुलस ने दुनिया को कैसे बदल दिया है?
कैलकुस ने इंजीनियरिंग, सामग्री विज्ञान, ध्वनिकी, उड़ान, बिजली, और, ज़ाहिर है, प्रकाश में कुछ अविश्वसनीय रूप से महत्वपूर्ण खोजों को संभव बनाया है।
कैलकुलस के आविष्कार के लिए अंततः कौन जिम्मेदार है?
जबकि न्यूटन कई प्रमेयों के साथ आया और पूर्व का उपयोग करता है, निष्कर्ष यह है कि गॉटफ्राइड विल्हेम लिबनिज़ ने कैलकुलस का आविष्कार किया।